Уроки математики – від теорії до практики

  • Застановімося

Урок математики, до яких учительки початкових кляс України звикли, складаються здебільшого з лічби та обчислення. Навчання цих понять полягає в тому, що кожну тему вчителька пояснює на уроці. Після пояснення дітям задають низку прикладів, виконавши які, вважається, що вони засвоїли цю тему.

Після такого навчання діти (та й більшість з них) вважають, що математика – це наука, яка складається з безлічі правил. Роля учительки – представити ці правила, а роля дитини вивчити їх напам’ять. Читай далі

  • Розвиток дитини

Дитина не розуміє, що п’ятнадцять хвилин мультиків – це те саме, що п’ятнадцять хвилин сидіти за столом, коли в гості прийшли дорослі. У дитини не розвинуте поняття незмінності часу.

Дитина до дев’яти років не розуміє картинок. До 10 - 11 років діти мусять вивчати математику, використовуючи конкретні предмети, які вони переставляють руками з одного місця на друге, одне слово – “трансформують”. Читай далі

  • На що вказують дослідження

На підставі сучасних досліджень з пізнавальної психології, ми знаємо, що під час навчального процесу діти не пасивні сприймачі, які вбирають в себе навчальний матеріал, а радше, активні учасники процесу засвоєння будь-якої інформації.

Щоб оперувати математичними принципами, дитина мусить розвинути – принцип кількости; поняття “більше” і “менше”; наступність чисел. Більшість дітей вже розвинула ці поняття до того, коли прийшла у першу клясу. Далі потрібно попрацювати над розвитком відчуття кількости. Це стосується гнучкого поняття суми, яка незалежна від підрахунку.

Малі діти кристалізують думки, коли вони малюють чи обговорюють думки з іншими. Щойно після такої діяльності вони можуть їх перенести на папір. Коли діти вивчають математичні поняття їм потрібно складати, малювати та обговорювати думки з іншими. . Читай далі

  • Теоретичне обгрунтування

Математичні поняття, як наприклад, “над”, “під”, “велике”, “сім”, “прямокутник”, “десяток” – це співвідношення між предметами. Як такі, вони не творять понять. Для учительки головне завдання усвідомити, що математичні співвідношення неможливо дитині показати чи пояснити. Кожне математичне поняття, яке складається з співвідношень, дитина має створити самостійно.

Математичні символи, як наприклад, +, -, >, <, 5, 10 допомагають нам зобразити математичні поняття і розв’язати задачі. Одні символи зображають співвідношення між математичними поняттями (наприклад, +, -, >, < ), які як такі є співвідносинами (наприклад, 5, 10).

Інструментальне розуміння, яке не вкорінене в співвідносному розумінні, швидко забувається. Читай далі

  • «Лицем до дитини»

Філософія принципів “Лицем до дитини” – це те, що знання математики мусить розвиватися на основі співвідносного розуміння. Щоб уникнути рутинного засвоєння інструментального розуміння, дітям потрібно дати змогу оперувати предметним матеріялом та усно обговорювати з однолітками співвідносини, які їх виражають.

Практичне застосування

Мета цього розділу – це практичні поради щодо проведення діяльностей, які посилюватимуть розвиток співвідносного розуміння.

Щоб виробити співвідносне розуміння, дитина мусить активно маніпулювати предметним матеріялом. Предметний матеріял – це матеріял, який дитина може пересувати, змінюючи співвідносини за бажанням. При такій діяльності дитина мусить мати нагоду з однолітками усно обговорювати процес, який відбувається. Лише після такої діяльности дитина зможе перенести вже зрозуміле поняття на папір. Схематично процес вироблення співвідносного розуміння можна окреслити так:

Предметний матеріял

Як застосувати в навчальному процесі таку схему, подано далі. Для кожної кляси подано приклад задачі, який є в підручниках з математики, що сьогодні використовують в школах України. Для кожної задачі подано зразки предметного матеріялу. Далі слідує пояснення, як можна зорганізувати навчальний процес так, щоб використати ці задачі для вироблення співвідносного розуміння, а не тільки перевірки інструментального розуміння (іншими словами, без того, щоб вказувати дітям скільки дій вимагає задача, чи як позначити задачу математичними символами).

Використання предметного матеріялу
Використання предметного матеріялу
Учителька Світлана Волотовська, м.Львів ШС «Любисток»

У кожному випадку діти працюють по двоє або по троє. Дітей не треба групувати за здібностями, навпаки, добре по – різному створювати групи, часто поєднуючи слабших з сильнішими, часом двох слабших чи двох сильніших (детальніше див.: “Організація- навчального процесу”). Цікавим є те, що так звані сильніші діти не завжди мають вироблене співвідносне розуміння , вони радше запам’ятали інструментальне розуміння. Саме ці діти часто відмовляються розв’язувати задачі, до яких не подано т очної інформації щодо ходу дій.

Слід пам’ятати, що мета завдання допомогти дитині виробити співвідносне розуміння математичних понять та зрозуміти співвідношення, які створюються у розв’язуванні задач.

Зразки задач

Перша кляса: “У піжмурки грало 9 дітей. Хлопчиків було більше. Скільки могло бути хлопчиків і дівчаток?” (Богданович і Кочина, 1987: 121) Для цієї задачі потрібний такий предметний матеріял : 20 ґудзиків двох кольорів (по 10 ґудзиків кожного кольору) або 20 картинок, з яких 10 хлопчики і 10 дівчатка.

Друга кляса: “На санчатах каталося 27 дітей, а на лижах – на 12 менше. Серед лижників було 6 дівчаток. Скільки хлопчиків каталося на лижах?” (Богданович, 1991: 127). Для цієї задачі потрібно такий предметний матеріял: 100 ґудзиків чотирьох кольорів (по 30 ґудзиків двох кольорів, та по 20 ґудзиків ще двох кольорів) або 100 картинок з яких 30 хлопчики на санчатах, 30 дівчаток на санчатах, 20 хлопчики на лижах, 20 дівчатка на лижах.

На кожній парті лежать в пакетиках розрізані частинки до двох казок і завдання на картках. Діти з розрізаних частинок складають картинки. У парах обговорюють, яка фігура утворилася, і з яких менших фігур. Самостійно вимірюють довжину і ширину фігур. Обчислюють площу і периметр своєї фігури. У парах перевіряють завдання.
Оксана Демків, м. Львів

Третя кляса: “На шкільній ділянці посадили 80 кг картоплі, пшениці посіяли в 5 разів менше, ніж посадили картоплі, а кукурудзи посіяли в 8 разів менше, ніж посадили картоплі й посіяли на ділянці?” (Богданович, 1990: 204). Для цієї задачі потрібно такий предметний матеріял: відрізки позначені колами (по 30 відрізків, на яких позначено 10 кіл та 50 відрізків, на яких позначено 1 коло) або по 10 відрізків, на яких намальовано 10 картопель з позначкою 1 кг біля кожної картоплі, 10 відрізків, на яких намальовано колосок пшениці з позначкою 1 кг біля кожного колоска та 60 відрізків, на яких позначка 1 кг, які діти самі намалюють.

Четверта кляса: “На одній лісовій ділянці посадили 652 дерева, а на другій- у 2 рази менше. Шосту частину всіх дерев становили сосни, а решту – дуби. Скільки дубів посадили на двох ділянках ?” (Богданович, Кочина і Левшин, 1991: 139). Для цієї задачі потрібний такий предметний матеріял: відрізки позначені квадратами (по 10 відрізків, на яких позначено 100 квадратів (клітинка сотки), 50 відрізків, на яких позначено 10 квадратів (клітинка десятки) та 50 відрізків, на яких позначено 1 квадрат).

Відрізки позначені квадратами

Учителька повинна мати місце, де лежать коробки з ґудзиками (одна коробка на один колір ґудзиків) та відрізки (один конверт на кожну кількість). Учитель не мусить для кожної задачі виділяти потрібне число ґудзиків чи картинок. Це мають робити діти, вибираючи таку кількість, яку їм потрібно.

Техніка вироблення співвідносного розуміння

Дві групки дітей (по 2-3 в групці) працюють над однією і тією самою задачею. Заняття йде так, перше: поєднання предметного матеріялу й усного мовлення, далі – поєднання предметного матеріялу і символічного позначення, а в кінці – поєднання символічного позначення й усного мовлення.

Предметний матеріял

Перший крок: поєднання предметного матеріялу й усного мовлення:

  • Діти в групі працюють з предметним матеріялом без допомоги вчительки.
  • Під час діяльности матеріяллм діти активно розмовляють між собою.
  • Заохотити дітей якнайбільше випробовувати різні способи, щоб розв’язати задачу, а не зосереджуватися тільки на одному.

Другий крок: поєднання предметного матеріялу і символічного позначення:

  • Маючи перед собою предметний матеріял та звертаючись до нього, діти малюють на папері розв’язання.
  • Малюнок повинен віддзеркалювати тему задачі. Себто повинні бути хлопчики та дівчатка (1 кляса), санчата і лижі (2 кляса), картопля і пшениця (3 кляса), дерева (4 кляса).
  • Під час малювання активно розмовляють.

Урок математики
Урок математики
Учителька Надія Дацко, м.Львів ПШ св. Софії

Третій крок: поєднання символічного позначення й усного мовлення:

  • Одна група пояснює свій малюнок другій групі.
  • Друга група пояснює свій малюнок першій групі.
  • Після пояснення діти порівнюють свої розв’язки: Чи підхід до розв’язання був однаковий, чи інший? Якщо інший, то який? Чи є ще третій спосіб для розв’язання задачі? (Не визначати один спосіб розв’язання задачі кращим за інший.)

Інструментальне розуміння

Щоб виробити інструментальне розуміння, яке вкорінене в співвідносному розумінні математичних понять, потрібно насамперед дати змогу дитині виробити співвідносне співвідносне розуміння (як подано вище). Після такої діяльности, яка забирає дуже багато часу (за результатами майже 60 % всього часу в клясі повинно бути відведено, щоб виробити співвідносне розуміння), можна перейти до позначення зрозумілих вже понять, вживаючи математичні символи.

Урок математики. Розсадила учнів за принципом “сильний-слабкий”, але не групами, а учні працювали “двійками”. Таня Ч. настирно пояснювала задачу Іванці Б., а Юля О. не лише пояснювала Юрі П., а й допитувала його:- А чому ти так думаєш?. А якою буде коротка умова? А на скільки дій задача? Частково сильні учні копіювали мене, мої пояснення, питання.
Ірина Й. Нусбавм; м. Львів СШ № 18

Треба дуже обережно плянувати навчальний час, щоб не перейти зашвидко до іншого, себто поки діти повністю не виробили співвідносного розуміння щодо вживання математичних символів. Дітям не можна задавати завдання, у яких вимагається вживати математичні символи доти, поки вони не обговорили та не знають з досвіду математичні співвідношення. Не всі діти будуть готові в один і той сам час позначати співвідношення математичними символами.

Процес вироблення інструментального розуміння, яке вкорінене в співвідносному розумінні математичних понять, схематично можна окреслити так:

Співвідносное розуміння

Коли дитина вже виписала співвідносні поняття математичними символами, треба упевнитися, що математичні поняття справді вкорінені в співвідносному розумінні. Для цього потрібно знову дати нагоду кожній дитині зокрема пояснити своїми словами (не завченими фразами чи науковою термінологією) співвідносини, які виражаються за допомогою символічного позначення. Марілин Бернс (Marilyn Burns, 1995) рекомендує вимагати від дітей, щоб вони відповідали так: “ Ми (я) вважаємо (вважаю), що відповідь є… Ми (я) так вважаємо (вважаю), бо…”

Програма навчання

Програма навчання Міністерства освіти і науки України – це дороговказ для учительки. Керуючись знанням и і вміннями, які подані в “Програмі!”, учителька плянує, втілює та оцінює свою роботу і роботу дітей.

Задачі, які склали діти на уроці.
У рукавичці були звірі. До неї прибігли ще вовк і ведмідь. І їх стало 7. Скільки звірів було в рукавичці спочатку?
Курочка ряба знесла не золоте, а 12 простих яєчок. Мишка одне яєчко розбила. Скільки яєчок залишилось у діда і баби?
У кошику Червоної Шапочки було 32 пиріжки. Після того, як Вовк з’їв кілька, у неї залишилося 20 пиріжків. Скільки пиріжків з’їв Вовк?
Марія С. Войціховська; м. Львів СШ № 100

Подані нижче вибіркові цитати з умінь, які передбачені “Програмою середньої загальноосвітньої школи 1- 4 класи”, Київ: Освіта. 1997 р., які стосуються розвитку математичних понять в початкових клясах. Всі ці вміння підтримуються принципами “Лицем до дитини”.

Математика

1 кляса

  • читає й записує числа до 20 (с.83)
  • розв’язує задачі на основі практичних дій з предметами (с.83)
  • розв’язує прості арифметичні задачі на одну дію за допомогою додавання і віднімання (с.83)
  • виділяє з групи предметів одного чи кількох предметів, які володіють певними властивостями (колір, розмір, форма, призначення) (с.82)
  • розміщує предмети у просторі : зверху, знизу, між, зліва, справа, поза, усередині (с.82)
  • порівнює предмети за розмірами (більший, менший, довший, коротший, такої самої довжини, широкий, вузький, товщий, тонший (с.82)
  • порівнює кількості предметів (стільки ж, більше, менше) (с.82)
  • вимірює за допомогою лінійки довжину відрізка у сантиметрах (с.83)
  • будує відрізок заданої довжини (с.83)
  • розпізнає та порівнює простіші геометричні фігури – круг, коло, трикутник, квадрат, відрізок (с.83, 163)
  • користується знаками і позначеннями : +, -, =,0 , 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (с.84)

2 кляса

  • читає, записує і порівнює числа від 0 до 100 (с.87)
  • читає і записує найпростіші вирази (сума, різниця, добуток, частка) (с.87)
  • виконує дії додавання і віднімання у межах 100 (с.87)
  • знаходить значення виразів на дві дії (с.87)
  • знаходить значення виразу з однією змінною при заданих значеннях змінної (с.87)
  • вимірює і креслить відрізки (в цілих сантиметрах) (с.87)
  • знаходить суму довжин сторін многокутника (с.87)
  • будує прямокутник на папері у клітинку (с.87)
  • розпізнає геометричні фігури (многокутник, квадрат, коло, круг) (с.85)
  • розпізнає та порівнює найпростіші геометричні фігури (с.169)
  • розв’язує найпростіші задачі на 1-2 дії першого ступеня, зокрема ті, які містять відношення менше на, більше на (с.87)
  • користується знаками і позначеннями : >,<,м, кг, г (с.87)

3 кляса

  • читає, записує і порівнює числа до 1000 (с.90)
  • виконує письмово додавання і віднімання чисел у межах 1000 (с.91)
  • виконує письмово множення і ділення на одноцифрове число (с.90)
  • розв’язує текстові арифметичні задачі, які містять відношення більше в, менше в (с.91)
  • знаходить на скільки одиниць одне число більше чи менше другого (с.91)
  • знаходить у скільки разів одне число більше чи менше другого (с.91)
  • знаходить площу і периметр прямокутника (с.91)
  • користується позначеннями одиниць величин: км, мм, см, год, хв, с (с.91)
  • розв’язує неважкі складені задачі на 2 і 3 дії (с.91)
  • розпізнає геометричні фігури (с.89)
  • будує прості геометричні фігури (с.177)

4 кляса

  • читає, записує і порівнює числа в межах мільйона (с.95)
  • читає найпростіші числові вирази (с.95)
  • виконує найпростіші обчислення в межах 1000 (с.84)
  • виконує усні обчислення в межах 100(с.95)
  • виконує письмові обчислення: додавання, віднімання, множення і ділення на одноцифрові та двоцифрові числа (с.95)
  • знаходить значення виразів на 2 і 3 дії (с.95)
  • розв’язує прості текстові арифметичні задачі, які розкривають зміст кожної дії і зміст відношень менше на, більше на, менше у, більше у (с.95)
  • розв’язує складені задачі, зокрема ті, для розв’язання яких потрібно використовувати знання залежностей між важливими величинами (швидкість, час і відстань при рівномірному прямолінійному русі; ціною, кількістю і вартістю товару; площею прямокутника і довжинами суміжних сторін) (с.95)
  • розпізнає і зображує (на папері в клітинку за допомогою циркуля і лінійки прості геометричні фігури (точка, відрізок, ламана, коло, многокутник) (с.95)
  • вимірює довжину відрізка, довжину ламаної (с.95)
  • креслить відрізок заданої довжини (с.95)
  • обчислює периметр і площу прямокутника (с.95)

Читай далі…. Для дискусії та самоаналізу

Лицем до дитини > Підручник > Математика > Від теорії до практики

Останнє оновлення на Субота, 24 червня 2017, 10:08
 


Практичне застосування
Лицем до дитини (стор.106b)

Лицем до дитини (стор.107)

Лицем до дитини (стор.108)


Математичне розуміння
Лицем до дитини (стор.109)

Лицем до дитини (стор.110)


Програма навчання
Лицем до дитини (стор.111)

Лицем до дитини (стор.112)

Лицем до дитини (стор.113a)