Уроки математики – дослідження та теоретичні основи

  • Застановімося

Сьогодні комп’ютери є щоденною дійсністю. Чи потрібно дітям, які в майбутньому користуватимуться калькуляторами та комп’ютерами, витрачати час на вивчення напам’ять таблички множення й розв’язування багато прикладів? Урок математики, до яких учительки початкових кляс України звикли, складаються здебільшого з лічби та обчислення. Після такого навчання діти (та й більшість з них) вважають, що математика – це наука, яка складається з безлічі правил. Роля учительки – представити ці правила, а роля дитини вивчити їх напам’ять. Читай далі

Розвиток дитини

В попередніх розділах, ми розглянули природний розвиток дітей з писання та природний розвиток дітей з читання. У цьому розділі ми розглянемо природній розвиток математичних понять.

Загально узгоджено, що кожна людина проходить через конкретні ста дії розвитку. Ці стадії розвитку подібні в усьому світі, хоча і є особливі варіянти в межах конкретних дітей та культур. Через те, що кожна наступна стадія є наслідком попередньої, немає чітко визначених вікових меж; особистості часто демонструють нерівномірний розвиток, а навіть регрес відповідно до норм, характерних до кожної стадії.

Наведена таблиця запропонована вчителькам як зразок для систематичного спостереження за тим, як розвивається інтелектуальний (чи пізнавальний) розвиток дитини. Можна передбачити, що в процесі спостереження за поведінкою окремої дитини вчительки будуть намагатися зіставити отримані результати з характеристиками стадії розвитку. А це дає право сподіватися, що вони забезпечать відповідні форми клясної діяльності, які би стимулювали дітей і сприяли їхньому постійному розвитку.

Наведена таблиця стала із проєкту “Спостереження за віковими особливостями дітей” Управління освіти м. Торонто (Канада).

Інтелектуальний розвиток дитини

(2 – 5 років)

  • Вчиться за допомогою трансформування і змінювання предметів – спроби і помилки.
  • Дія часто випереджує думку – думку не завжди аналізують.
  • Бачить світ через одну перспективу – свою власну.
  • Починає робити порівняння двох предметів – наприклад, велике, мале.
  • Починає розміщувати предмети в певному порядку.
  • Має обмежену здатність в розумінні, порівнянні, використані термінології відносно кількости.
  • Час розуміється як “тепер” і вимірюється щоденними подіями- наприклад, “наступний тиждень” значить “не тепер”.
  • Не розуміє поняття незмінности часу.

(5 – 7 років)

  • Вчиться методом трансформування предметів, освідомлюючи цілеспрямованість дії, - вибирає, комбінує, проявляє ініціятиву.
  • Дотик і рух- ключеві елементи в навчальному процесі.
  • Думка не завжди передує дії.
  • Дитина розуміє поняття частин або цілого, але не частин стосовно цілого- звертає увагу на вигляд, а не на логіку.
  • Кількість визначає на основі просторових об’єктів – наприклад, для дитини група Б більша, ніж група А.

Групи об’єктів

  • Про довжину відрізка судить, не виходячи з початку і кінця, а тільки з кінця – наприклад, для дитини відрізок Б довший ніж відрізок А.

Відрізки

  • Розрізняє і описує відмінності й подібності на базі кольору, форми, призначення й кількости.
  • Починає розуміти поняття простору й часу.
  • Може описати минулі події, але відчуває труднощі в дотримуванні хронологічної послідовности.
  • В кінці зазаначеного періоду може розташувати 3 або більше предметів у відповідному порядку.

(7 – 9 років)

  • Конкретні об’єкти все ще необхідні для повного розуміння – вже може вчитися при помочі задумання над проробленим.
  • Розуміє послідовність змін- наприклад, пори року.
  • Переважно думка випереджає дію.
  • Може зосередитися більш ніж на одному поняттю або одній точці зору.
  • Більшість дітей розуміє поняття числа.
  • Більшість дітей розуміє поняття довжини.
  • Більшість дітей розуміє поняття кількости рідких і твердих тіл.
  • Розквіт поняття причини й наслідку.
  • Починає вказувати на тривалість дії, порівнюючи її.
  • Усвідомлює поняття форми, розміру, кількости, руху, позиції, напрямку.

Незмінність часу

Коли ми сидимо й читаємо цікаву книжку, нам видається, що час минає набагато швидше, ніж коли ми слухаємо нудну промову на зборах. Втім, ми усвідомлюємо, що півгодини в одному й другому напрямку є півгодини. Це називається “незмінність часу”. Натомість дитина не розуміє, що п’ятнадцять хвилин мультиків- це те саме, що п’ятнадцять хвилин сидіти за столом, коли в гості прийшли дорослі.

Трансформування предметів

Дитина до дев’яти років не розуміє картинок. Коли на одній картинці є три яблука, а на другій – чотири, дитина не уявляє собі, що це ті самі три яблука до яких додається ще одне. Вона бачить сім яблук. Тому діти до 10- 11 років мусять вивчати математику , використовуючи конкретні предмети, які вони переставляють руками з одного місця на друге, одне слово – “трансформують”.

Математичні задачі
Математичні задачі
Учителька: Надія Дацко, м.Львів ПШ св. Софії

На що вказують дослідження

У розділі про розвиток мови ми зазначили, що людина розвиває зв’язки між клітинами мозку тоді, коли вона активно стимулює його за допомогою різноманітних звукових, зорових та чуттєвих стимулів.

У розділі про читання ми осмислили, що мала дитина вивчає рідну мову не тоді, коли її хтось вчить граматичних правил, а коли вона активно спілкується з іншими, зосереджуючи увагу на змісті, а не на формі сказаного. Подібний процес відбувається у засвоєнні читання.

У розділі про писання ми ствердили, що професійні письмовці кристалізують та уточнюють свої думки в процесі писання, що такі думки не завжди скристалізовані перед тим, як письмовець почне писати. Рівно ж малі діти кристалізують думки тоді, коли вони малюють чи обговорюють думки з іншими. Щойно після такої діяльности вони можуть переносити їх на папір.

Урок математики
Урок математики
Учителька: Надія Дацко, м.Львів ПШ св. Софії

На підставі сучасних досліджень з пізнавальної психології, ми знаємо, що під час навчального процесу діти не пасивні сприймачі, які вбирають в себе навчальний матеріал, а радше, активні учасники процесу засвоєння будь- якої інформації. Це поняття розглянемо в цьому розділі.

Навчання базових знань

Діти до 4 – 5 років не розуміють, що коли вони рахують, то останнє число визначає кількість; наприклад, “Поклади три кубики у відро”. Дитина, яка ще не розвинула принципу кількости, відчислить кубики й поставить третій у відро. Щоб оперувати математичними принципами, дитина мусить розвинути:

  1. Принцип кількости.
  2. Поняття “більше” і “менше”.
  3. Наступність чисел.

Більшість дітей вже розвинула ці поняття до того, коли прийшла у першу клясу. Однак у вересні потрібно індивідуально перевірити кожну дитину.

Куток математики
Куток математики
Учителька: Світлана Волотовська, м.Львів ШС «Любисток»

Коли діти вже усвідомили поняття подані вище, тоді потрібно попрацювати над розвитком відчуття кількости. Це стосується гнучкого поняття суми, яка незалежна від підрахунку. Багато дітей у шостій, сьомій або навіть восьмій клясах користується рахуванням, коли розв’язують аритметичні завдання. Це тому, що вони вивчають напам’ять таблички, пов’язані з цифрами, і не відчувають кількости тих цифр. Заучування правил обчислення чи заучування напам’ять таблиць додавання та множення саме по собі, не стимулює розвитку зв’язків між клітинами.

Щоб розвинути гнучке поняття суми, діти мусять мати безліч нагод бачити кількість, яку визначає це число; наприклад, десять квадратиків. Вони мають швидко розпізнавати такі зорові приклади. Важливо, щоб приклади мали різне розміщення предметних форм.

Математичні поняття

Часто на уроках математики діти виконують завдання, які не сприяють виробленню зв’язків між поняттями, якими в майбутньому вони оперуватимуть. Дослідження М. К. Кавлі (M.K. Cauley, 1988) вказують, що у другій та третій клясах діти вміють правильно відняти одне число від другого, яке вимагає «перехід через десяток». Вони вміють правильно зобразити процес віднімання, використовуючи лічильний матеріял. Однак, виявляється, що більшість дітей не вміє поєднати одну дію з другою. Під час досліджень М. К. Кавлі сказав дітям:

Перехід через десяток. Дослідження М. К. Кавлі

Чи в тебе було більше тут (вказуючи 56), чи більше тут (вказуючи на обведене число з переходом через десяток), чи стільки само в одному й другому?”

За результати М.К. Кавлі, приблизно третина дітей в другій та третій клясах відповіла, що в першому прикладі було більше, третина, що в другому було більше, й ще третина, що в одному й другому було стільки само. Висновок очевидний – хоча діти вміють правильно, знайти відповідь, вони засвоюють “правила” автоматично, не розуміючи хід своїх дій.

Приємно вразив випадок, який я помітила на контрольній роботі з математики. Дівчинка І., якій важко дається рахування, на чернетці кольоровими олівцями намалювала кружечки і рахувала. Коли я підійшла і запитала, що це таке, то Іринка відповіла: “На уроці математики ми лічили ґудзички. І я собі їх намалювала”.
Людмила Осташевська; м. Львів

Загальноприйнятим в країнах Заходу є твердження, що діти наздогад не роблять висновків (Ginsburg, 1977; Labinowicz,1985). Хоча відповідь, яку дасть дитина, дорослий може вважати неправильною, а в світосприйманні дитини вона вкладається в її рамки.

Дослідник Джон А. Ван де Валле (John A. Van de Walle, 1994) подає приклад дитини, якій дали завдання, на яке вона частково вже знала математичне правило, а частково ні.

Перехід через десяток. Дослідник Джон А. Ван де Валле

Дитина по-своєму зрозуміла поняття “перехід через десяток”. У цьому прикладі Ван де Валле вказує на правдоподібний результат навчання, коли воно зосереджується на заучуванні абстрактних правил, не даючи змоги дитині самостійно (чи в співдії з іншими дітьми) дійти до висновків за допомогою предметного матеріялу, малювання та обговорення.

На уроці математики запропонувала дітям 2 класу самостійно складати задачі середньої складності. Діти цю роботу виконували вперше. Досі вони складали задачі за даним виразом або коротким записом. З роботою справились швидко. 80% дітей склали правильно задачі, підібрали правильно числа. І тепер ми на уроках математики ці задачі розв’язуємо. Дітям дуже цікаво розв’язувати ті задачі, які склали їхні товариші.
Любов Б. Турянська, м. Стрий

Малі діти кристалізують думки, коли вони малюють чи обговорюють думки з іншими. Щойно після такої діяльності вони можуть їх перенести на папір. Коли діти вивчають математичні поняття їм потрібно складати, малювати та обговорювати думки з іншими. Під час таких занять діти мають можливість виявити неточності чи спостерегти нові співвідношення між поняттями. Щойно після такого процесу діти можуть перенести їм відоме та зрозуміле на папір.

Математика, яка складається з лічби та обчислення, є під керівництвом калькуляторів та комп’ютерів. Сьогодні дітям не потрібно традиційних вмінь та навичок. Натомість, їм потрібно навчитися, як продумати проблеми ( чи математичні завдання/ приклади) до кінця та як їх розв’язати.

Хотілось би поділитися враженнями про урок математики, темою якого була “Частини”. Скажу відразу, урок був предметним. Раніше я б собі не дозволила того, що дозволила зараз. Оскільки почула, що все, чого дитина вчиться, має проходити через її руки, я дозволила дітям принести яблука і ножі (що суперечить техніці безпеки). І можете лише уявити, що творилось на уроці. Вони різали яблука на частини; у кожної дитини були кружечки, відрізки, вони складали їх, ділили їх. А вже наприкінці року діти ще й їли ті частини яблука. І то ще й як їли: – “Ти з’їж одну четверту, а я з’їм одну другу!; Ха! Я більше з’їв, ніж ти!” То був цирк.
Світлана Й. Кручкевич, м. Львів СШ № 40

Дитина вчиться розв’язувати «приклади» та оперувати математичними поняттями не коли вона вивчає напам’ять таблиці та правила обчислення, а коли вона активно працює чи бавиться предметним матеріялом. Предметний матеріял – це матеріял, яким дитина може самостійно рухати, «трансформувати». Про такі матеріяли буде докладніша мова в частині

Теоретичне обґрунтування

За твердженням науковця Річарда Скемпа (Richard Skemp, 1978,1979), щоб оперувати математичними поняттями, дитина мусить зосередитися на двох фор мах розуміння – співвідносному та інструментальному.

Співвідносне розуміння

Математичні поняття, як наприклад, “над”, ‘під”, ‘велике”, ‘сім”, “прямокутник”, “десяток” - це співвідношення між предметами. Як такі, вони не творять понять.

Коли ми показуємо дитині ілюстрацію, на якій зображено сім метеликів, ми не показуємо поняття “сім”, а ілюстрацію з метеликами. Метелики не творять поняття “сім”. Поняття “сім” складається з семи абстрактних одиниць, які співвідносяться так, що разом творять цілість, яку ми називаємо “сім”. Хоча метелики зображають ці одиниці, вони як такі не є цими одиницями. Поняття “сім” - це співвідношення між абстрактними поняттями одиниць і тому це поняття не можна показати.

Задачі та приклади
Задачі та приклади
Учителька: Світлана Волотовська, м.Львів ШС «Любисток»

Для учительки головне завдання усвідомити, що математичні співвідношення неможливо дитині показати чи пояснити. Кожне математичне поняття, яке складається з співвідношень, дитина має створити самостійно. Для цього потрібно, щоб дитина активно маніпулювала предметним матеріялом, самостійно за особистим бажанням створювала та змінювала співвідношення між ним.

Інструментальне розуміння

Математичні символи, як наприклад, +, -, >,<,5, 10 допомагають нам зобразити математичні поняття і розв’язати задачі. Одні символи зображають співвідношення між математичними поняттями (наприклад, +, -, >,< ), які як такі є співвідносинами (наприклад, 5, 10).

Річард Скемп стверджує, що розуміння математики існує на суцільній лінії. З одного боку лінії є розуміння, яке стоїть на основі багатих зв’язків між поняттями, себто розуміння співвідношень, які існують між математичними поняттями, та способів дій тих понять. З іншого боку лінії є знання математичних правил та місце і спосіб їх застосування, без співвідносного розуміння таких дій. Таке знання ґрунтується на інструментальному розумінні.

Тільки інструментальне розуміння дає змогу використати набуте знання в дуже обмежених обставинах- а саме в тих обставинах, у яких воно було засвоєне. Не маючи співвідносного розуміння, дитина не може перенести спосіб дії на нові обставини. Інструментальне розуміння, яке не вкорінене в співвідносному розумінні, швидко забувається. Тому учительки часто мусять повторювати та переучувати правила та способи дії, щоб розв’язати математичні задачі.

Дитина має вміти: знаходити площу прямокутника (квадрата).
Дитина має знати: в однині вимірювання площі та застосовувати їх у практиці вимірювання.
Хід заняття : на попередніх уроках діти дізналися про різні одиниці вимірювання площі (1 мм2, 1 см2, 1 дм2, 1 м2). Практично виготовляли палетку, метр (трудове навчання). Колективно з’ясували, що для вимірювання великих поверхонь зручно користуватися 1 м2. Дала завдання у групах (по 4 учні в групі).
Перша група – виміряти площу класу (своїми, виготовленими власноруч, метрами).
Друга група – виміряти площу коридора біля класу.
Третя група – виміряти площу поверхні дошки.
Четверта група – виміряти площу поверхні вікна.
П’ята група – виміряти площу поверхні дверей.
Галина В. Стасюк, м. Львів СШ № 33

Можна ствердити, що значну частину навчального часу учительки України витрачають, щоб засвоїти інструментальне, а не співвідносне розуміння математики. Слід наголосити, що навчання, яке зосереджене на інструментальному розумінні, заучує правила та способи дії без розуміння співвідносин, які творять основу математики. Такий метод- витрата навчального часу.

«Лицем до дитини»

Філософія принципів “Лицем до дитини” – це те, що знання математики мусить розвиватися на основі співвідносного розуміння. Щоб уникнути рутинного засвоєння інструментального розуміння, дітям потрібно дати змогу оперувати предметним матеріялом та усно обговорювати з однолітками співвідносини, які їх виражають.

Читай далі…. Практичне застосування

Лицем до дитини > Підручник > Математика > Дослідження та теорія

Останнє оновлення на Середа, 07 червня 2017, 11:19
 


Розвиток дитини
Лицем до дитини (стор.98b)

Лицем до дитини (стор.99)

Лицем до дитини (стор.100)


На що вказують дослідження
Лицем до дитини (стор.101)

Лицем до дитини (стор.102)

Лицем до дитини (стор.103)


Теоретичне обгрунтування
Лицем до дитини (стор.104)

Лицем до дитини (стор.105)

Лицем до дитини (стор.106a)